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| 北大學(xué)子備考錦囊 | 韓昀致：厚積薄發(fā)，妙悟數(shù)學(xué) |
| http://www.qdjyhjx.com 2024年1月4日 來(lái)源：北京大學(xué)招生辦 |
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寒窗苦讀時(shí)，是否期待一盞明燈？挑燈夜戰(zhàn)時(shí)，是否渴望指點(diǎn)迷津？或許你已經(jīng)步履沉重，或許你還在咬牙堅(jiān)持，但請(qǐng)相信這不會(huì)是一場(chǎng)孤勇的旅程。未名博雅，千里同行，北大學(xué)子為你送上這份真誠(chéng)的“備考錦囊”。學(xué)什么最重要？怎么學(xué)最高效？這里有你最需要的答案。無(wú)論你是求學(xué)前路尚曲折的旅者，還是高考戰(zhàn)場(chǎng)正披掛的戰(zhàn)士，北大始終與你同行。
學(xué)生姓名：韓昀致
畢業(yè)中學(xué)：江蘇省淮陰中學(xué)
就讀院系：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
概述：中學(xué)的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)，是一門(mén)所有中學(xué)生都不會(huì)感到陌生的學(xué)科。誠(chéng)如卡爾·馬克思所說(shuō)：“一門(mén)科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完善的地步�！睌�(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，從個(gè)人角度看，一名學(xué)者數(shù)學(xué)水平的高低很大程度上決定了他的研究深度；從人類(lèi)角度看，數(shù)學(xué)學(xué)科的一次次革命與發(fā)展推動(dòng)著人類(lèi)社會(huì)生產(chǎn)力水平的提高，數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性不言而喻。
在中學(xué)的求知階段，我們不再滿(mǎn)足于小學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的偏感性認(rèn)識(shí)，而是更為系統(tǒng)與全面地接觸并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維。中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)疑是基礎(chǔ)的、關(guān)鍵的。而數(shù)學(xué)歷來(lái)也是中學(xué)各種考試的重難點(diǎn)、“生命線(xiàn)”，很多時(shí)候這一門(mén)學(xué)科便可以拉開(kāi)巨大的分差，區(qū)分度極大。因此，無(wú)論是基于功利應(yīng)試的層面還是人生未來(lái)的層面，中學(xué)數(shù)學(xué)都不可謂不重要。
然而，從初中到高中，數(shù)學(xué)也是令無(wú)數(shù)同學(xué)憂(yōu)心忡忡的一門(mén)學(xué)科。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，歸根結(jié)底在于其巨大的訓(xùn)練量、計(jì)算量、思維量讓中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常需要學(xué)生具有正確的心態(tài)、恰當(dāng)?shù)姆椒�、�?yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)范與靈活的技巧。這四者相輔相成、缺一不可，當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遭遇瓶頸或產(chǎn)生波動(dòng)時(shí)，我往往從這幾個(gè)角度加以反思與改進(jìn)，取得了不錯(cuò)的效果。在此，我希望用這篇文章，講一講我個(gè)人對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)尤其是課內(nèi)部分的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能為需要它們的同學(xué)提供一些綿薄的幫助。
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心理與態(tài)度
長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海
在闡述一些具體的做法前，我想先簡(jiǎn)單表明我所認(rèn)為正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心態(tài)，畢竟心態(tài)好比一門(mén)學(xué)科學(xué)習(xí)時(shí)的心理底色，也有一定的共性，定下了心目中這門(mén)學(xué)科的基調(diào)。
中學(xué)數(shù)學(xué)的成績(jī)，從來(lái)不是僅僅由天賦或智商決定的，甚至可以說(shuō)，這些因素在其中的影響并不大。如同任何一個(gè)中學(xué)學(xué)科一樣，影響最終成績(jī)高低的最直接因素，除去臨場(chǎng)的狀態(tài)和不可預(yù)知的考運(yùn)外，就是平日里在這門(mén)學(xué)科上的付出與積累，和考前復(fù)習(xí)所做的準(zhǔn)備，誰(shuí)都不能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中選擇躺平。
所以，每一名同學(xué)都有學(xué)好數(shù)學(xué)的潛力，對(duì)于自我要求較高的同學(xué)，更應(yīng)當(dāng)追求數(shù)學(xué)學(xué)科的卓越。值得在這門(mén)學(xué)科上做出的努力是沒(méi)有極限的，遭遇到困難意味著訓(xùn)練思維的增長(zhǎng)點(diǎn)的出現(xiàn)，而非是駐足退縮的理由。無(wú)論是誰(shuí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)都應(yīng)是始終向上、精益求精，追求盡可能接近滿(mǎn)分，拒絕小富即安。
一分耕耘，一分收獲，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所花的精力，總會(huì)在某一天帶來(lái)一定的回報(bào)；持之以恒地鉆研數(shù)學(xué)，終可以在數(shù)學(xué)之海中乘風(fēng)破浪。不懼怕數(shù)學(xué)、具有迎難而上的韌勁與耐挫力、永遠(yuǎn)保持自己可以學(xué)好數(shù)學(xué)的樂(lè)觀與堅(jiān)定并愿意為之努力，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)有的第一點(diǎn)心態(tài)。
也有一些同學(xué)會(huì)走向另一個(gè)極端，也就是過(guò)分地依賴(lài)大量刷題、一段時(shí)間不學(xué)數(shù)學(xué)就會(huì)焦慮，這當(dāng)然也是不必要的。數(shù)學(xué)終歸也是一門(mén)中學(xué)學(xué)科，的確需要大量的投入，但也不必為了數(shù)學(xué)影響到其他學(xué)科，或是不理性地花費(fèi)寶貴的時(shí)間去做沒(méi)有太多效果的事。平靜地對(duì)待數(shù)學(xué)，反而會(huì)有助于思維的活躍與注意力的集中，也更容易把數(shù)學(xué)學(xué)好。戒驕戒躁，以一顆平常心對(duì)待數(shù)學(xué)，不太過(guò)緊張而影響正常的思考，這是我想說(shuō)的第二點(diǎn)心態(tài)。
而更高一個(gè)境界，則是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中感悟到數(shù)學(xué)之美，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，從中感受心靈的平靜與思考的純粹�？继卣f(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)是人類(lèi)智慧皇冠上最燦爛的明珠�！彪m然我們的水平與眼界不及那些數(shù)學(xué)大家，但當(dāng)我們苦苦思索一道題后終于豁然開(kāi)朗時(shí)，當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的日日夜夜化為成果時(shí)，那種喜悅是真切的；一道巧妙的題目，不僅考驗(yàn)了能力，更讓人不禁驚嘆出題者的巧思與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美；小心謹(jǐn)慎地完成一道陷阱重重的題目，正是一次對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神的接觸。
將自己沉浸于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，總有一個(gè)時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就成為了一種自然的樂(lè)事。
這三點(diǎn)心態(tài)來(lái)自我自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，我相信，秉持正確積極的心態(tài)，數(shù)學(xué)終會(huì)成為一位良友，讓人受益無(wú)窮。
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學(xué)數(shù)方法論
千淘萬(wàn)漉雖辛苦，吹盡黃沙始到金
光有心態(tài)，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是顯然不夠的。中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究“精講多練”，基礎(chǔ)的知識(shí)經(jīng)過(guò)老師們一年年的拓展與挖掘，產(chǎn)生了千變?nèi)f化的題型、不計(jì)其數(shù)的考點(diǎn)、不容小覷的難度，考試的內(nèi)容對(duì)于中學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間而言是繁多的，停留于表面的刷題無(wú)法真正解決問(wèn)題，所以不可“把題目帶進(jìn)考場(chǎng)”，而應(yīng)“把思維帶進(jìn)考場(chǎng)”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有捷徑存在，數(shù)學(xué)成績(jī)不會(huì)無(wú)故階躍，我的方法沒(méi)有什么聳人聽(tīng)聞的秘技，也不宣稱(chēng)什么奇跡，唯有坐得住、學(xué)進(jìn)去、勤思考、多總結(jié)，最真實(shí)的數(shù)學(xué)水平才會(huì)一步一步地提高，經(jīng)得住各種試煉，在風(fēng)雨中立定腳跟，踏石留印。
廣義上的方法可以分為學(xué)習(xí)的方法和解題的方法，后者更多的屬于技巧一類(lèi)，本章先重點(diǎn)就前者進(jìn)行介紹。中學(xué)學(xué)習(xí)在時(shí)間上可以分為兩個(gè)階段，一是初中階段，二是高中階段，二者具有很大的共性，但也有一定的差別。具體而言，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度相對(duì)平和，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度則較大，因而高中數(shù)學(xué)需要的方法也會(huì)更多�？傮w來(lái)說(shuō)，日常的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有如下過(guò)程：預(yù)習(xí)、課堂、作業(yè)、訂正、練習(xí)、復(fù)習(xí)、考試，每一個(gè)過(guò)程都十分重要，相輔相成。
預(yù)習(xí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，但也是經(jīng)常不被重視或缺乏正確方式的一步。有同學(xué)通過(guò)課外輔導(dǎo)過(guò)早地學(xué)習(xí)超過(guò)其所在年級(jí)的知識(shí)，這種階段性的預(yù)習(xí)意識(shí)是好的，對(duì)于以競(jìng)賽為目標(biāo)、能力較強(qiáng)的同學(xué)，這是適合的預(yù)習(xí)，但我個(gè)人認(rèn)為這對(duì)于以普通高考為目標(biāo)的學(xué)生而言沒(méi)有必要，一般來(lái)說(shuō)在每個(gè)學(xué)期前能把這個(gè)學(xué)期前幾章的內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)便足矣。這種“總預(yù)習(xí)”可以讓學(xué)期在開(kāi)始時(shí)的壓力不那么大，也更容易把知識(shí)掌握牢固，更快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。
中學(xué)數(shù)學(xué)的預(yù)習(xí)肯定不能止于翻一翻書(shū)本，無(wú)論是自主復(fù)習(xí)還是依靠輔導(dǎo)，一定的訓(xùn)練是必要的，先拿一本資料把對(duì)應(yīng)單元的題目做一做，根據(jù)做題的感覺(jué)在課本中尋找相關(guān)內(nèi)容并進(jìn)行理解，對(duì)課本有大致的印象，可以更高效、更有針對(duì)性地完成預(yù)習(xí)準(zhǔn)備。
除此以外，預(yù)習(xí)還發(fā)生在每一天的學(xué)習(xí)中，通常中學(xué)數(shù)學(xué)的講義會(huì)分為課堂精講和課后練習(xí)，課堂所要講的例題，就是前一天預(yù)習(xí)時(shí)要提前完成的部分。這種分散在日常中的預(yù)習(xí)，最好配合精讀課本上的相關(guān)內(nèi)容，尤其是課本中的定理定義、思考題和補(bǔ)充內(nèi)容，這些不只含有標(biāo)準(zhǔn)的解釋和有關(guān)的思想，還是考試的依據(jù)，在課堂中也涉及較少，及時(shí)跟進(jìn)課本可以讓學(xué)習(xí)變的扎實(shí)。
此外，預(yù)習(xí)的好壞并非以能否做對(duì)為標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)習(xí)本來(lái)遇到的就是陌生的知識(shí)與題目，不會(huì)做、做不對(duì)無(wú)可厚非，關(guān)鍵在于是否留下了有效思考的痕跡，做對(duì)了有什么心得？思路進(jìn)行不下去是哪里出了問(wèn)題？想到的多種思路哪一種更好？帶著自己的觀點(diǎn)與疑惑進(jìn)入課堂，才能讓學(xué)習(xí)事半功倍。
無(wú)論是什么學(xué)科，課堂都是學(xué)習(xí)的核心區(qū)。課堂的內(nèi)容中或許會(huì)有自己已經(jīng)熟練的內(nèi)容，但就在這些自以為熟悉的內(nèi)容中，老師在某一個(gè)瞬間的板書(shū)或講解可能就包含著幾十年經(jīng)驗(yàn)帶來(lái)的重要提醒。
課堂中學(xué)生應(yīng)該是主動(dòng)的，把細(xì)微的關(guān)鍵點(diǎn)從一節(jié)課堂任何可能的位置中發(fā)掘出來(lái)，這需要注意力的高度集中，切忌長(zhǎng)期在課堂上做作業(yè)或走神，否則千里之堤，潰于蟻穴，日積月累的損失會(huì)帶來(lái)可怕的后果。
除了集中精力聽(tīng)講，課堂上還需要盡量隨堂理解好老師的思路、記憶住評(píng)講的知識(shí)點(diǎn)，不能太自信于自己的課后復(fù)習(xí)能力。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂筆記，我的看法是記下例題，解答不要去匆忙地記錄，留到下課后憑借對(duì)課堂的回憶再去完成，這樣做筆記的過(guò)程也就成為了回顧課堂、加深理解的過(guò)程，充分利用了筆記，當(dāng)你在課后可以完整無(wú)誤、沒(méi)有疑惑地完成例題，也就對(duì)例題有了深度的見(jiàn)解，同時(shí)也不會(huì)因?yàn)橛浌P記分散了精力而錯(cuò)過(guò)課堂的內(nèi)容。
另外，在數(shù)學(xué)課這樣一個(gè)對(duì)學(xué)生課前與課上思考力要求高的課堂，真正優(yōu)秀的學(xué)生往往能主導(dǎo)課堂的節(jié)奏，而不是做被動(dòng)的接受者，同學(xué)們?cè)谡n堂上應(yīng)該積極發(fā)言，展示自己的思路方法，這樣數(shù)學(xué)的課堂將會(huì)充滿(mǎn)生機(jī)。
作業(yè)與訂正是緊隨課堂的，老師監(jiān)督力度較高的硬性練習(xí)與整理，質(zhì)量較高，需要珍惜。對(duì)于作業(yè)不應(yīng)當(dāng)僅以完成為目標(biāo)去用零碎的時(shí)間把完整的一份學(xué)案拆散，而是應(yīng)該留出整段的時(shí)間限時(shí)、高質(zhì)完成，配合作業(yè)對(duì)每天的課堂內(nèi)容及時(shí)鞏固，把作業(yè)的完成效果最大化。
作業(yè)的訂正也不能滿(mǎn)足于記下一個(gè)答案，最好的態(tài)度是附紙訂正，以最嚴(yán)格的大題標(biāo)準(zhǔn)要求過(guò)程，愿意的話(huà)還可以抄一下題干來(lái)強(qiáng)調(diào)審題的重要，簡(jiǎn)單對(duì)錯(cuò)因進(jìn)行分析，便于復(fù)習(xí)。
關(guān)于錯(cuò)題本，可以根據(jù)自己的需要進(jìn)行選擇性的整理，建議在高中階段備有兩本：一本記錄相對(duì)低級(jí)的錯(cuò)誤點(diǎn)或知識(shí)盲區(qū)，逐條記錄提醒自己；另一本記錄難題大題的步驟思路，積累方法、提升思維，錯(cuò)題本應(yīng)以實(shí)用為先，不要去為了外在的形式耗費(fèi)大量時(shí)間。
課外自主的練習(xí)與作業(yè)相對(duì)，屬于“老師建議+自主選擇”的偏軟性練習(xí)。中學(xué)數(shù)學(xué)的課外練習(xí)很多時(shí)候會(huì)進(jìn)入一個(gè)誤區(qū)，即大量訓(xùn)練，遭遇難題怪題導(dǎo)致焦慮或依賴(lài)心理，為解決焦慮而選擇刷更多的題，漸漸走上題海戰(zhàn)術(shù)的道路，影響正常課內(nèi)學(xué)習(xí)。
選擇一本適合自己的、高質(zhì)量的、題量適中的練習(xí)冊(cè)，是從源頭上解決這個(gè)問(wèn)題的第一步。課外拓展要記住不刷情緒題、不刷急躁題、不刷偏門(mén)題、不刷毛病題，練習(xí)只需要一本，重在自己對(duì)其有始有終的對(duì)待與利用，像對(duì)待作業(yè)那樣對(duì)待練習(xí)，用練習(xí)補(bǔ)充作業(yè)，著重練習(xí)弱點(diǎn)難點(diǎn)，練習(xí)才會(huì)有效。
對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)而言，考前的復(fù)習(xí)雖說(shuō)是臨陣磨槍?zhuān)部赡軒椭苊饪荚嚂r(shí)低級(jí)錯(cuò)誤的發(fā)生，帶來(lái)考試的底氣與自信，因此復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容包括作業(yè)中的錯(cuò)題、課堂的筆記以及平時(shí)整理的錯(cuò)題本。
考試是總結(jié)提升的好機(jī)會(huì)，一名中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力總是在一次次考試的洗禮后成長(zhǎng)。考試時(shí)的技巧可以粗略的概括為幾個(gè)關(guān)鍵詞：調(diào)動(dòng)精力、因題用法、分配時(shí)間、顧全大局，以最佳的狀態(tài)迎接考試的檢驗(yàn)，考后認(rèn)真做好反思總結(jié)，進(jìn)步與突破終會(huì)萌生。
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規(guī)范很重要
慎對(duì)易處以避難，敬待毫微致遠(yuǎn)大
這一部分我想通過(guò)規(guī)范強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)的代表性學(xué)科品格：嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致。規(guī)范是什么？規(guī)范不是死板的答題套路，規(guī)范可以是看得見(jiàn)的，是優(yōu)美工整的卷面，條分縷析的答題步驟；規(guī)范也可以是看不見(jiàn)的，是草稿本的有序利用，審題時(shí)做的圈圈畫(huà)畫(huà)。當(dāng)老師第一次向我指出規(guī)范的重要性時(shí)，我也曾把規(guī)范當(dāng)做是便利閱卷老師的表面功夫，不需要認(rèn)真對(duì)待，但在不斷地試錯(cuò)與改進(jìn)中，我發(fā)現(xiàn)規(guī)范帶來(lái)的紅利，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止給閱卷老師帶來(lái)好印象這么簡(jiǎn)單。
第一，以2023年數(shù)學(xué)新高考一卷為例，很多考生踏出考場(chǎng)后表示試題簡(jiǎn)單，但這類(lèi)考生的成績(jī)往往不如人意，一部分原因正是本次高考閱卷對(duì)過(guò)程分改得細(xì)、要求高，在平日里就關(guān)注規(guī)范，在中、高考較高的閱卷標(biāo)準(zhǔn)下具有一定的直接優(yōu)勢(shì)。
第二，除了客觀因素，規(guī)范的存在更對(duì)學(xué)生自己有著主觀上的正面效果，如果做題時(shí)謹(jǐn)守規(guī)范，做題速度必然無(wú)法過(guò)快，看似教條的規(guī)范實(shí)則是歷來(lái)教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)之談，遵守規(guī)范的同時(shí)也就規(guī)避了大量如審錯(cuò)題、計(jì)算錯(cuò)等非智力因素失分。
第三，規(guī)范也并非完全的一成不變，融入一定個(gè)人風(fēng)格的規(guī)范其實(shí)體現(xiàn)了個(gè)人的思考特性，有助于個(gè)人數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。
揆其本質(zhì)，規(guī)范反映了中學(xué)數(shù)學(xué)力圖培養(yǎng)的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)。嚴(yán)謹(jǐn)意味著理性與確定性，這也是數(shù)學(xué)最吸引我的一點(diǎn)。高一時(shí)剛剛接觸立體幾何時(shí)那堂有關(guān)公理的數(shù)學(xué)課令我記憶猶新，那節(jié)課的內(nèi)容本身并無(wú)難度，但老師卻帶著我們利用基本事實(shí)，結(jié)合課本將公理一一證明，課堂兼具思維量與趣味性，深化了我們對(duì)基本事實(shí)與公理的理解。
看似顯然的結(jié)論，若沒(méi)有可以窮盡客觀事實(shí)的證據(jù)將其證明，那也只是一個(gè)猜想。數(shù)學(xué)史上體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)之重要的例子不勝枚舉，譬如雙曲幾何與橢圓幾何的建立；譬如強(qiáng)小數(shù)定律的告誡；還譬如讓學(xué)者一度懷疑計(jì)算機(jī)故障的Borwein積分……只憑借客觀的驗(yàn)算與邏輯判斷對(duì)錯(cuò)，這是令我激賞的數(shù)學(xué)之堅(jiān)固。當(dāng)自己被一道題目的陷阱欺騙后憤懣不平時(shí)，不妨想想其對(duì)規(guī)范的引導(dǎo)，想想其反證的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋夭豢缮佟?br>
一言以蔽之，著眼于細(xì)節(jié)處的規(guī)范，是一個(gè)扎根的過(guò)程，有了這么一個(gè)根本，才能生長(zhǎng)出參天大樹(shù)。
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技巧的悖論
剝盡皮毛見(jiàn)本真，此中無(wú)古亦無(wú)今
即使是最優(yōu)秀的同學(xué)也會(huì)不經(jīng)意間因?yàn)閷?duì)奇技淫巧的追求陷入困境，但答題技巧也是無(wú)數(shù)有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)的參考書(shū)的關(guān)鍵賣(mài)點(diǎn)，我即使窮盡這整篇文章的篇幅，離講完中學(xué)數(shù)學(xué)所有的技巧也遙遙無(wú)期，何況我也不知道所有的技巧，甚至不知道中學(xué)數(shù)學(xué)的技巧是不是有限的，所以我并不打算寫(xiě)怎么做題，而是要寫(xiě)寫(xiě)我對(duì)于技巧本身的觀點(diǎn)。
技巧是有用的，尤其是對(duì)于解析幾何這種計(jì)算量巨大的題型，適當(dāng)?shù)胤e累一些針對(duì)特定問(wèn)法的技巧，無(wú)疑可以在面對(duì)相應(yīng)問(wèn)題時(shí)省下大量時(shí)間，例如在解析幾何大題中齊次化、平移齊次化、運(yùn)用基本不等式與“1”的代換求最值，這些技巧確實(shí)很有用。但問(wèn)題有內(nèi)外兩點(diǎn)，外是高考以創(chuàng)新為導(dǎo)向，像2023年數(shù)學(xué)新高考一卷的壓軸解幾就很難在考場(chǎng)上想到什么平常多用的技巧；內(nèi)是學(xué)生對(duì)技巧的掌握通常停留在完整解題的 “后半段”，也就是說(shuō)，老師與教輔比較容易講明白一套技巧的工作原理，但很難講明白這套技巧的產(chǎn)生原理，或只能牽強(qiáng)附會(huì)地講明白。
如通過(guò)構(gòu)造一元二次方程利用根的判別式證明Cauchy不等式的技巧，第一次聽(tīng)到時(shí)確實(shí)給我?guī)?lái)了驚嘆，但驚嘆之后呢？沒(méi)有之后，那個(gè)技巧在其他地方幾乎毫無(wú)用武之地。打一個(gè)比方，技巧就像是一把把大小、花紋各不相同的螺絲刀，它們可以輕松地把對(duì)應(yīng)的螺絲擰進(jìn)洞里，但當(dāng)你遇到了一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的螺絲，你卻沒(méi)有辦法制作出一個(gè)與之匹配的螺絲刀。這就是技巧的困境。
怎樣走出迷宮，不做技巧的囚徒呢？答案是：練好一把錘子。這把通用于所有型號(hào)的釘子的錘子，就是通性通法。高考?jí)狠S題固然難，但耐下性子列式聯(lián)立計(jì)算，用最基本的韋達(dá)定理、消元法和求導(dǎo)求最值，證明最終自然完成了。中學(xué)數(shù)學(xué)不強(qiáng)求太多技巧，高考更不會(huì)考察技巧，回歸課堂書(shū)本中的基礎(chǔ)，那里就有最好的技巧。
總結(jié)一下：我們需要適當(dāng)掌握技巧，但技巧不會(huì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重心所在。
寫(xiě)在最后：關(guān)于競(jìng)賽
本文主要面向課內(nèi)學(xué)習(xí)寫(xiě)作，但競(jìng)賽也是中學(xué)數(shù)學(xué)，特別是高中優(yōu)秀學(xué)子們繞不開(kāi)的話(huà)題，在結(jié)尾一筆帶過(guò)。
本人參加過(guò)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，雖然是半路出家，也取得了一些成績(jī)。競(jìng)賽競(jìng)爭(zhēng)激烈，對(duì)于要不要學(xué)的問(wèn)題，我的答案是數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于課內(nèi)學(xué)習(xí)存在一定的幫助，但并沒(méi)有太多直接的優(yōu)勢(shì)，很多競(jìng)賽生反而會(huì)因缺乏良好的習(xí)慣而在課內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在劣勢(shì)，但競(jìng)賽會(huì)豐富中學(xué)數(shù)學(xué)的課內(nèi)內(nèi)容，這本身也有很多更長(zhǎng)遠(yuǎn)的益處。綜上，我還是會(huì)推薦有能力的同學(xué)分一些精力嘗試數(shù)學(xué)競(jìng)賽，至少這一面之緣給我留下了美好的回憶。
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